1. Đăng nhập
  2. Đăng kư
Hiện kết quả từ 1 tới 2 của 2
  1. #1
    Tham gia ngày
    May 2012
    Bài gửi
    1.721
    Cảm ơn
    4
    Thanked 102 Times in 78 Posts

    Chuyên đề - Sự tương giao của các đồ thị

    ►Xem: 3016 ►Trả Lời: 1
    ►Chia Sẽ:
    27-09-2012

    SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ




    I – Lư thuyết:

    1) Sự tương giao của hai đồ thị:


    Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số là nghiệm của phương tŕnh:

    Từ đó suy ra số giao điểm của hai đồ thị đă cho bằng số nghiệm của phương tŕnh .

    2) Đường thẳng với hệ số góc:

    Hệ số góc của đường thẳng là tang của góc tạo bởi phần đường thẳng phía trên và chiều dương trục
    Đường thẳng có hệ số góc là .
    Đường thẳng có song song hoặc trùng với trục th́ có hệ số góc bằng 0.
    Đường thẳng có song song hoặc trùng với trục th́ không có hệ số góc.
    Đường thẳng đi qua và có hệ số góc th́ có phương tŕnh .
    Hai đường thẳng song song có cùng hệ số góc.
    Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng -1.

    3) Định lư Bézout và lược đồ Horner:

    Đa thức bậc là biểu thức có dạng
    Số được gọi là nghiệm của đa thức nếu
    Định lư Bézout:
    Nếu là một nghiệm của th́ tồn tại đa thức sao cho:

    Lược đồ Horner dùng để chia đa thức cho đa thức



    Khi đó:

    Đặc biệt, khi là nghiệm của

    4) Tam thức bậc hai:


    a) Định lí Viète:

    Nếu có hai nghiệm th́
    .

    b) Nhận xét:
    * có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
    * có hai nghiệm dương khi và chỉ khi
    * có hai nghiệm âm khi và chỉ khi:
    * có hai nghiệm phân biệt cùng lớn hơn khi và chỉ khi:
    * có hai nghiệm phân biệt cùng nhỏ hơn khi và chỉ khi:
    * có hai nghiệm phân biệt, khi và chỉ khi:

    Xem thêm bài khác
    H́nh ảnh đính kèm H́nh ảnh đính kèm

  2. #2
    Tham gia ngày
    May 2012
    Bài gửi
    1.721
    Cảm ơn
    4
    Thanked 102 Times in 78 Posts

    II – Các dạng toán thường gặp

    1. T́m điều kiện của tham số để đồ thị và 1 đường thẳng cắt nhau thỏa măn một số tính chất nhất định
    Trong đề thi ĐH một số năm gần đây, thường có câu phụ của bài toán khảo sát, yêu cầu t́m điều kiện của tham số để đồ thị và 1 đường thẳng cắt nhau thỏa măn một số tính chất nhất định. Đối với các bài toán ấy, cách làm chung là ta xét phương tŕnh , biến đổi nó về dạng bậc hai và sử dụng định lư Viète. Ta hăy bắt đầu với 1 ví dụ đơn giản


    Ví dụ 1.1. Xác định m để đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
    Giải
    Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục Ox là nghiệm của phương tŕnh :

    .
    Đồ thị và trục cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương tŕnh (1.1) có hai nghiệm phân biệt khác 1. Điều này tương đương với:




    Ví dụ 1.2. Cho hàm số có đồ thị .
    a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
    b) Gọi d là đường thẳng đi qua A(0;-1) và có hệ số góc bằng k. T́m k để d cắt tại 3 điểm phân biệt.
    Giải
    b) Đường thẳng d có phương tŕnh: .
    Hoành độ giao điểm của là nghiệm của phương tŕnh:



    và d cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương tŕnh (1.2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Điều này tương đương với:




    Ví dụ 1.3. Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là . T́m m để cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ không nhỏ hơn 1.


    Phân tích:
    Ngoài việc t́m điều kiện để phương tŕnh hoành độ giao điểm có 3 nghiệm, ta c̣n cần t́m điều kiện để ba nghiệm không vượt quá 1. Dễ thấy, là một nghiệm của phương tŕnh đó. Để hai nghiệm cùng lớn hơn 1 th́


    Giải
    Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phương tŕnh:



    Yêu cầu bài toán được thỏa măn khi và chỉ khi phương tŕnh (1.3) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1. Điều này tương đương với:




    Ví dụ 1.4. Cho hàm số có đồ thị là .
    T́m m để cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng.


    Phân tích:
    Dễ thấy phương tŕnh hoành độ giao điểm chắc chắn có nghiệm là x=0. Do đó có 2 trường hợp thỏa măn điều kiện bài toán:

    TH1: Ba hoành độ giao điểm lần lượt là . Trong trường hợp này hai nghiệm khác 0 của phương tŕnh đối nhau. Tức là tổng của chúng bằng 0
    TH2: Ba hoành độ giao điểm lần lượt là hoặc . Trong trường hợp này hai nghiệm khác $0$ của phương tŕnh có 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia.



    Giải
    Hoành độ giao điểm của và trục Ox là nghiệm của phương tŕnh:





    .


    Yêu cầu của bài toán được thỏa măn khi và chỉ khi xảy ra 1 trong 2 trường hợp sau:


    TH1 : phương tŕnh (1.4) có hai nghiệm khác 0 và hai nghiệm đó đối nhau. Điều này tương đương với:





    TH2: phương tŕnh (1.4) có hai nghiệm phân biệt khác 0 và Điều này tương đương với:





    .


    KL: m = 0 hoặc .




    Ví dụ 1.5. Cho là đồ thị của hàm số và đường thẳng . T́m m để d cắt tại 3 điểm phân biệt A(0;4), B, C sao cho có diện tích bằng .


    Phân tích:


    Ta biết rằng . Mà dễ dàng tính được. Từ đó ta tính được độ dài BC. Độ dài này hoàn toàn phụ thuộc vào hoành độ của $B,C$ (cũng chính là 2 nghiệm của phương tŕnh hoành độ giao điểm). Ta dễ dàng liên hệ với định lư Viète.


    Giải


    Hoành độ giao điểm của d và là nghiệm của phương tŕnh:








    Điều kiện cần và đủ để và d cắt nhau tại 3 điểm phân biệt là phương tŕnh (1.5) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Điều này tương đương với:





    Với điều kiện (1.5'), ta có hai giao điểm . Gọi KH là đường cao của tam giác KBC. Khi đó:





    Từ đó, ta có:

    .
    KL: nghiệm của bài toán là:


    Ví dụ 1.6. T́m m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt trong đó có ít nhất 1 điểm có hoành độ âm.


    Phân tích:
    Trực tiếp t́m điều kiện để 1 phương tŕnh có 3 nghiệm phân biệt, có ít nhất 1 nghiệm âm e là hơi khó. Ta sẽ t́m điều kiện để phương tŕnh có 3 nghiệm không âm. Khi đó, yêu cầu của bài toán chính là phần bù của điều kiện vừa t́m.
    Do hệ số của dương nên ta có 2 trường hợp sau:



    Trong cả hai trường hợp trên, trái dấu, thêm nữa, các điểm cực đại, cực tiểu đều dương. Như vậy ta đă tạm h́nh dung ra điều kiện cần giải quyết.


    Giải


    Yêu cầu của bài toán tương đương với T́m m phương tŕnh





    có 3 nghiệm phân biệt trong đó có ít nhất 1 nghiệm âm.


    Ta có:





    là tam thức bậc hai có:





    Vậy phương tŕnh luôn có hai nghiệm


    Điều kiện cần và đủ để phương tŕnh $(1.6)$ có 3 nghiệm phân biệt là





    Với điều kiện (1.6a), phương tŕnh (1.6) có 3 nghiệm không âm khi và chỉ khi:





    Vậy yêu cầu của bài toán được thỏa măn khi và chỉ khi:





    Xét hàm số , bằng cách lập bảng biến thiên của hàm số:





    ta có:





    Từ đó, ta có





    Ví dụ 1.7. Cho đường thẳng và đồ thị


    a) CMR: Với mọi m,(d) luôn cắt (G) tại 2 điểm phân biệt E,F.T́m tập hợp các trung điểm của đoạn EF khi m thay đổi
    b) Xác định m để đoạn EF ngắn nhất


    Phân tích:
    a) Ta chỉ cần chứng minh phương tŕnh hoành độ giao điểm luôn có 2 nghiệm phân biệt là xong
    b) Ta sẽ biểu diễn độ dài EF qua m. Muốn vậy, cần dùng định lư Vi-et


    Giải
    a) Hoành độ giao điểm (nếu có) của (G) và (d) là nghiệm của phương tŕnh:








    Ta có:





    Nên phương tŕnh (2) có 2 nghiệm phân biệt. Dễ thấy x=1 không phải là nghiệm của (1.7b). Từ đó, phương tŕnh (1.7a) có 2 nghiệm phân biệt. Vậy (G) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt:





    trong đó e,f là các nghiệm của (1.7b). Ta có:





    Trung điểm của EF là: . Vậy quỹ tích cần t́m là đường thẳng:


    b) Ta có:





    Vậy



    H́nh ảnh đính kèm H́nh ảnh đính kèm

Từ khóa cho bài viết này

Quyền viết bài

  • Bạn không thể gửi chủ đề mới
  • Bạn không thể gửi trả lời
  • Bạn không thể gửi file đính kèm
  • Bạn không thể sửa bài viết của ḿnh
  •